Idag tänkte jag avslöja några matematiska knep som du kan använda för att eventuellt imponera på din omgivning.

Tänk dig att du ber någon beräkna volymen på en kub genom att använda ett tvåsiffrigt heltal som sida. Du skall sedan beräkna 3:dje roten ur det tal som personen ger dig. Dvs. du skall med huvudräkning beräkna sidan i kuben givet volymen.

Personen tar fram sin mobil och öppnar miniräknaren. Ger dig sedan talet 74088.

Du svarar genast ”lätt! svaret är 42”.

Vi gör det svårare säger du. Ta ett tvåsiffrigt heltal och höj upp det till 5 så räknar jag 5:te roten istället.

Personen tar åter upp miniräknaren och ger dig sedan talet 2073071593.

Du låtsas fundera en stund och svarar sedan 72 men ändrar dig snabbt till 73!

Förhoppningsvis blir personen lite imponerad. Det är ett svårt partytrick att genomföra rent pedagogisk. Matematiken bakom är enkel. Vi börjar med fallet då vi tar ett tvåsiffrigt tal upphöjt till 3.

Ett tvåsiffrigt tal kan vi skriva som a*10 + b, där a är siffran för 10-tal och b är siffran för ental. Höjer vi sedan talet till 3 får vi:

(a*10 + b)³ = 1000a³ + 300a²b + 30ab² + b³

Vad ser vi? jo sista siffran i svaret om vi upphöjer det tvåsiffriga taket till 3 bestäms enbart av b³, alltså sista siffran!

Vi gör en tabell

[table]
tal, tal³
1, 1
2, 8
3, 27
4, 64
5, 125
6, 216
7, 343
8, 512
9, 729
[/table]

Alltså ett tal som 11³ kommer att sluta på 1. Tal som slutar på 2, 3 kommer att sluta på 8, 7 och tal som slutar på 8, 7 kommer sluta på 2, 3. Övriga tal som 1, 4, 5, 6, 9 slutar på samma siffra! Det är ju lätt att komma ihåg.

Vad vi sedan behöver ha koll på är tiotalen. Vi kan göra samma tabell men med en faktor 1000 större (10*10*10). Denna tabell måste vi memorera!

[table]
tal, tal³
10, 1000
20, 8000
30, 27000
40, 64000
50, 125000
60, 216000
70, 343000
80, 512000
90, 729000
[/table]

Säger du siffran 175616 så tänker jag ”hmm talet slutar på 6 så sista siffran är 6. Talet ligger mellan 125000 och 216000 så svaret måste vara 56!”

Vi kan göra samma sak när vi upphöjer till 5. Enligt samma resonemang som tidigare så bestäms sista siffran endast av entalssiffran. Vi gör en tabell:

[table]
tal, tal⁵
1, 1
2, 32
3, 243
4, 1024
5, 3125
6, 7776
7, 16807
8, 32768
9, 59049
[/table]

Här är det ännu enklare. Det blir samma slutsiffra på svaret som på beräkningen! För att fullborda tricket måste vi memorera gränserna för 10-talen och det blir denna gång en faktor 100000 (10*10*10*10*10), i övrigt samma tabell:

[table]
tal, tal⁵
10, 1 00000
20, 32 00000
30, 243 00000
40, 1024 00000
50, 3125 00000
60, 7776 00000
70, 16807 00000
80, 32768 00000
90, 59049 00000
[/table]

Lycka till!